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ED 005

Sem Einstein, seu mapa erraria 10 km por dia

Cada relógio em órbita adianta 38 microssegundos por dia, e sem correção contínua a bolinha azul escorrega 10 quilômetros em 24 horas.

Satélite de navegação em órbita sobre a Terra iluminada pelo Sol, com a antena voltada para o planeta.

Satélites do GPS em órbita sobre a Terra

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Você destrava o celular numa esquina qualquer e a bolinha azul aparece exatamente na calçada onde os seus pés estão. Dois segundos, nenhum esforço, nenhuma pergunta.

O aparelho, porém, não faz a menor ideia de onde fica a calçada. Ele não reconhece rua, não enxerga prédio, não consulta mapa nenhum para descobrir a posição. O celular só sabe medir tempo.

Lá em cima, a mais de vinte mil quilômetros de altura, alguns satélites repetem a mesma frase o dia inteiro: eu estou neste ponto da órbita e enviei esta mensagem neste instante exato.

O receptor no seu bolso compara o instante do envio com o instante da chegada e transforma o atraso em distância. Feita a conta com quatro satélites ao mesmo tempo, sobra um único lugar no planeta compatível com os quatro atrasos.

O mapa colorido vem depois, como enfeite da resposta. O trabalho de verdade já tinha terminado quando os relógios fecharam a conta entre eles.

O problema mora na régua da conversão. O sinal viaja na velocidade da luz, quase trezentos mil quilômetros por segundo, e a aritmética fica desconfortável quando você desce para as unidades pequenas.

Um bilionésimo de segundo de erro vira trinta centímetros no chão. Um milionésimo vira trezentos metros. Um centésimo de segundo, o tempo de uma piscada mal começada, jogaria você a três mil quilômetros de casa.

Um sistema assim só funciona se todos os relógios envolvidos concordarem sobre quanto dura um segundo. E é justamente aí que a física atrapalha, porque relógio em órbita e relógio de bolso não batem no mesmo ritmo, nem quando saem da mesma fábrica no mesmo dia.

A curiosidade de hoje é quanto tempo cada satélite ganha por dia, por que duas causas diferentes puxam a mesma agulha para lados opostos e o tamanho do estrago que apareceria na sua tela se ninguém corrigisse a diferença.

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I A Curiosidade do Dia

O relógio que corre mais rápido lá em cima

Cada satélite do GPS carrega relógio atômico a bordo, em geral dois de césio e dois de rubídio, com folga de reserva porque trocar peça em órbita não é opção. Um relógio desses erra menos de um segundo em trezentos mil anos.

Precisão, no entanto, não resolve o problema. Os relógios lá em cima estão certos, o relógio do seu bolso está certo, e mesmo assim os dois discordam sobre quanto tempo passou.

A órbita explica a discordância. O satélite voa a vinte mil e duzentos quilômetros de altitude, dá uma volta completa em onze horas e cinquenta e oito minutos e cruza o espaço a quase quatorze mil quilômetros por hora.

Duas coisas acontecem nessa altura, e elas apontam para lados contrários.

A primeira vem da velocidade. Relógio em movimento bate mais devagar que relógio parado, e a diferença cresce junto com a velocidade. Nos quatorze mil quilômetros por hora do satélite, a conta atrasa o relógio de bordo em sete microssegundos por dia.

A segunda vem da gravidade. Quanto mais forte o campo gravitacional, mais devagar o tempo corre, e a vinte mil quilômetros do chão a Terra puxa bem menos do que puxa a sua cozinha. Nessa altura o relógio adianta quarenta e cinco microssegundos por dia.

Some as duas e sobra o número que sustenta o sistema inteiro: trinta e oito microssegundos de adiantamento a cada vinte e quatro horas.

Trinta e oito microssegundos parece um nada. Uma piscada de olho dura cem mil microssegundos, quase três mil vezes mais que a diferença acumulada num dia.

A régua da conversão, porém, não perdoa. Trinta e oito mil bilionésimos de segundo, multiplicados pelos trinta centímetros que a luz cobre em cada bilionésimo, dão perto de onze quilômetros de erro depois de um único dia.

E o erro não zera à meia-noite. Ele se empilha. Dois dias sem correção passam de vinte quilômetros, uma semana passa de setenta, e a bolinha azul acaba num município vizinho.

"Os princípios e efeitos relativísticos que precisam ser considerados incluem a constância da velocidade da luz, o princípio da equivalência, o efeito Sagnac, a dilatação do tempo, os desvios gravitacionais de frequência e a relatividade da simultaneidade." Neil Ashby, Relativity in the Global Positioning System, 2003.

A engenharia resolveu a parte grossa do problema antes mesmo do lançamento, com uma solução de uma linha. O relógio de bordo deveria bater em 10,23 megahertz, e os satélites saem de fábrica ajustados para 10,22999999543 megahertz.

Sintonizado de propósito um tiquinho devagar aqui embaixo, o relógio chega à órbita batendo exatamente na frequência combinada, do ponto de vista de quem ficou no chão.

O resto virou rotina de manutenção. As estações de controle em terra medem o desvio residual de cada satélite e sobem correções para a memória de bordo.

Nada disso era consenso quando o programa começou. Havia gente graduada convencida de que a correção relativística era matemática bonita sem consequência prática, e o desempate exigiu um satélite inteiro.

II A História Por Trás

O satélite que subiu com o corretor desligado

Antes do GPS, a ideia de que o tempo corre em ritmos diferentes conforme o lugar tinha ótima reputação teórica e pouquíssima prova de bancada.

A primeira demonstração limpa saiu de uma torre de vinte e dois metros e meio no prédio de física de Harvard. Em 1959, Robert Pound e Glen Rebka mediram a mudança de frequência de um raio gama subindo e descendo esses poucos metros, e o número bateu com a previsão da relatividade geral.

Doze anos depois a prova saiu do laboratório e entrou num avião de carreira. Joseph Hafele e Richard Keating embarcaram quatro relógios de césio em voos comerciais comuns, deram a volta ao mundo duas vezes, uma para o leste e outra para o oeste, e compararam os relógios viajantes com os que ficaram parados no Observatório Naval dos Estados Unidos.

Os relógios voltaram discordando na medida prevista. O que foi para o leste perdeu algumas dezenas de bilionésimos de segundo, o que foi para o oeste ganhou algumas centenas, e o resultado saiu na revista Science em 1972.

Faltava o teste que interessava ao programa de navegação. Em junho de 1977 subiu o NTS-2, satélite experimental que levava o primeiro relógio de césio a entrar em órbita para o futuro sistema.

Dentro dele havia um sintetizador de frequência capaz de aplicar a correção relativística. E ele subiu desligado, de propósito.

A equipe deixou o corretor desarmado para medir o adiantamento do relógio antes de corrigir qualquer coisa. Se a relatividade estivesse errada, o relógio simplesmente não adiantaria, e ninguém precisaria explicar nada depois.

Vinte dias de dados encerraram a discussão. O relógio de bordo adiantava 442,5 partes em cada trilhão, contra as 446,5 partes previstas pela teoria antes do lançamento.

Ligaram o corretor e nunca mais desligaram. O primeiro satélite operacional do bloco inicial subiu em fevereiro de 1978, sob a direção de Bradford Parkinson, e a constelação cresceu até os vinte e quatro satélites em seis planos de órbita que sustentam o serviço até hoje.

Ficou de herança um detalhe elegante de projeto. Três satélites bastariam para cravar um ponto no espaço, e mesmo assim o receptor sempre procura um quarto.

O quarto satélite não entra para melhorar a posição. Ele entra para descobrir o erro do relógio barato que existe dentro do seu celular, um cristal de quartzo de poucos centavos que atrasaria minutos por ano se dependesse apenas de si.

A cada atualização de posição, o aparelho resolve quatro incógnitas de uma vez: as três coordenadas e o próprio atraso interno. É por essa razão que um quartzo de bolso trabalha em pé de igualdade com uma frota de relógios atômicos.

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III Pra Contar na Mesa

Por que a bolinha azul pula no centro

Com a relatividade domada, o mapa deveria acertar sempre. E ainda assim a bolinha azul dá aquele salto para a rua paralela quando você caminha entre prédios altos.

O culpado principal é o caminho que o sinal percorre. Entre o satélite e o seu bolso existem camadas de atmosfera e muita superfície dura.

A ionosfera vem primeiro. É uma faixa alta de partículas eletricamente carregadas que atrasa o sinal de rádio, e o atraso muda com a hora do dia e com a atividade do Sol. Receptor bom escuta o satélite em duas frequências ao mesmo tempo e cancela boa parte do estrago.

Depois vem o problema urbano. Quando o sinal bate na fachada de vidro de um prédio e chega ao aparelho ricocheteado, ele demorou mais do que deveria, e mais tempo significa mais distância na conta do receptor.

O aparelho não tem como saber que o caminho foi torto. Ele acredita no atraso medido, calcula uma distância maior e coloca você meio quarteirão adiante, às vezes na calçada oposta.

Existe ainda a questão da geometria. Quatro satélites amontoados no mesmo pedaço de céu entregam uma solução frouxa, enquanto os mesmos quatro espalhados em direções diferentes fecham a conta com margem bem menor.

Daí saem três hábitos que melhoram a sua precisão sem instalar aplicativo nenhum.

1. Olhe o círculo azul, não a bolinha. O tamanho do círculo é a incerteza que o próprio aparelho admite ter. Círculo largo quer dizer poucos satélites travados, e vinte segundos parado a céu aberto costuma resolver.

2. Olhe o entorno antes de reclamar. Viaduto, túnel, garagem e corredor de prédios altos são fábrica de sinal ricocheteado. Um passo para fora da sombra do prédio faz mais pela sua rota do que reiniciar o telefone.

3. Olhe o horizonte. Céu aberto em várias direções significa satélites bem distribuídos, e satélites bem distribuídos valem mais que satélites em maior número.

Vale guardar a proporção entre os dois tipos de erro. O que sobra num dia comum de cidade cabe em alguns metros, e some assim que você atravessa a praça. O que a relatividade produziria sem correção seria mil vezes maior e cresceria todo santo dia.

Cada vez que você confere o trajeto até a padaria, uma frota de relógios atômicos aplica uma correção calculada por um físico alemão em 1915, décadas antes de existir satélite, rádio portátil ou telefone com tela.

"Que outra teoria você usa todo dia sem saber o nome dela?"