I  A Curiosidade do Dia

O retângulo que não muda de forma

Pegue uma página impressa e dobre ao meio, juntando os dois lados curtos. O retângulo que sobra tem o mesmo formato do de antes, só que menor.

Repita o teste com qualquer outro retângulo e o truque falha. Um cartão de 20 por 30 centímetros dobrado ao meio vira 15 por 20, e a proporção salta de um e meio para um e um terço. O formato mudou de cara.

A propriedade parece banal e é rara. Existe uma única proporção no mundo que sobrevive à dobra ao meio, e ela não foi escolhida por ninguém: é consequência de uma conta.

A conta cabe em três linhas. Chame o lado maior de x e o menor de 1. Ao dobrar, o lado maior vira 1 e o menor vira x dividido por dois.

Para as duas proporções serem iguais, x tem que valer o inverso de x meios, o que resulta em x ao quadrado igual a dois. Logo x é a raiz quadrada de dois, a diagonal de um quadrado de lado 1, o mesmo número que tirou o sono dos pitagóricos por não caber em fração nenhuma.

Definida a forma, faltava o tamanho. O sistema resolveu com uma âncora só: o maior retângulo da família, batizado de A0, tem área de exatamente um metro quadrado.

Os lados que atendem às duas condições ao mesmo tempo medem 0,841 metro por 1,189 metro. Arredondados ao milímetro, viram os 841 por 1189 do A0, e a área real fica em 0,999949 metro quadrado.

Daí para baixo é só dobrar. O A0 dobrado ao meio é o A1, o A1 dobrado é o A2, o A2 é o A3, o A3 é o A4. Quatro dobras separam o metro quadrado inteiro da página que sai da impressora.

O arredondamento explica o 29,7 que incomoda. A medida exata do A4 seria 210,224 por 297,302 milímetros, e a norma manda cortar no milímetro inteiro, sempre para baixo.

A âncora de um metro quadrado tem um efeito prático que quase ninguém associa ao papel. Ela transforma gramatura em peso de página sem nenhuma conta no meio.

O papel de escritório vem marcado como 80 g/m², ou seja, oitenta gramas por metro quadrado. Como o A4 é um dezesseis avos de metro quadrado, cada página pesa cinco gramas cravados.

Uma resma de quinhentas páginas pesa dois quilos e meio. Uma carta de quatro páginas com envelope fica abaixo de vinte gramas, que por acaso é a faixa mais barata da tabela dos correios.

Nada disso funciona com um formato de medida arbitrária. E quem enxergou primeiro a propriedade da dobra não trabalhava com papel: era professor de física e escreveu sobre o assunto numa carta a um amigo.

II  A História Por Trás

A carta de 1786 que virou norma alemã

Georg Christoph Lichtenberg dava aula de física em Göttingen no fim do século XVIII e ficou conhecido por duas coisas bem diferentes: as figuras elétricas que levam o nome dele e os cadernos de aforismos que só vieram a público depois.

Em 25 de outubro de 1786 ele escreveu ao amigo Johann Beckmann, professor da mesma universidade. No meio da carta apareceu uma pergunta de aparência boba: existe um formato de papel que continua o mesmo depois de partido ao meio?

Lichtenberg fez a conta, chegou à raiz de dois e contou na carta que papel nessa proporção já se vendia por ali. A propriedade estava no mercado antes de alguém escrever a fórmula dela.

A carta não virou norma. Ficou guardada como curiosidade de professor, e o papel do século seguinte continuou saindo no tamanho que cada fábrica achava melhor, com nomes de molde e marca d'água no lugar de medida.

A Revolução Francesa chegou perto sem querer. A lei do selo de 3 de novembro de 1798 cobrava imposto sobre papel por formato, e a lista trazia tamanhos com exatamente a proporção da raiz de dois, idênticos em forma ao que hoje chamamos de A2, A3 e B4.

O imposto acabou e os formatos foram junto. A ideia ficou parada por mais de um século.

Quem tirou a conta da gaveta foi Walter Porstmann, engenheiro alemão obcecado por padronização. Em agosto de 1922 ele publicou a norma DIN 476, e a contribuição dele não foi a proporção, que já era conhecida, e sim a âncora.

Porstmann fixou a área do maior formato em um metro quadrado. A partir dessa única escolha, a família inteira ganhou medida fechada, e gramatura, peso de carta e tamanho de envelope passaram a conversar entre si.

A adoção foi rápida onde havia burocracia grande. Ao longo dos anos 1920 e 1930 dezenas de países copiaram a norma alemã, a ISO 216 consolidou tudo em 1975, e a ONU passou a emitir os próprios documentos em A4.

Um bloco de países ficou de fora e continua fora. Estados Unidos, Canadá e alguns vizinhos usam o formato Carta, de 8,5 por 11 polegadas, o que dá 215,9 por 279,4 milímetros.

A proporção da Carta é 1,294. Dobrada ao meio, ela vira 1,545, um retângulo bem mais atarracado. Nenhuma das facilidades do sistema métrico de papel funciona lá.

A Carta também não tem certidão de nascimento. A explicação mais repetida é herança das formas de fabricação manual, e o tamanho só virou padrão federal americano em 1980, por ordem do presidente Ronald Reagan, no lugar do 8 por 10,5 polegadas que a burocracia usava antes.

O sistema é jovem como norma e velho como ideia. Ele só ficou visível para o público geral quando as máquinas de copiar chegaram ao escritório.

III  Pra Contar na Mesa

O que o 141 resolve na bandeja

Volte ao painel da copiadora. Ampliar uma página A4 para A3 significa dobrar a área impressa, e para dobrar a área você precisa multiplicar cada lado pela raiz de dois.

O visor não tem espaço para decimal infinito, então a fábrica arredonda para 141%. O caminho inverso, de A3 para A4, pede o inverso da raiz de dois, que vale 0,707, e aparece no botão como 71%.

Por essa razão os dois números moram sozinhos no meio de valores redondos. O 50%, o 100% e o 200% servem para qualquer coisa; o 141 e o 71 só fazem sentido dentro de uma família de papel que dobra sem mudar de formato.

Vale lembrar o custo escondido do 141%. Você não está aumentando o desenho em 41%, está dobrando a área impressa, ou seja, dobrando papel e tinta de uma tacada só.

O 71% tem o uso oposto e bem mais econômico. Ele é o botão de encaixar duas páginas A4 lado a lado dentro de uma página A4 só, que é como uma apostila de duzentas páginas vira um calhamaço de cem.

A régua funciona também no desenho técnico, e ali poupa recálculo. Ir de A1 para A3 são dois passos de redução, e dois passos de 0,707 dão exatamente a metade.

Uma planta na escala 1:100 impressa em A1, reduzida para A3, sai em 1:200 cravados. O arquiteto não recalcula nada, e a escala gráfica impressa no canto do desenho continua valendo.

Os envelopes seguem a mesma lógica numa série própria, a C. Um C4 engole o A4 inteiro sem dobra, o C5 recebe a página dobrada uma vez e o C6, aquele envelope pequeno de banco, recebe a página dobrada duas vezes.

A série B fica no meio das outras duas: capa de livro, cartaz de rua e passaporte moram nela.

1. Ampliação e redução: A4 para A3 é 141%, A3 para A4 é 71%. Duas páginas dentro de uma também é 71%, com a opção de duas por folha ligada no menu.

2. Escala de planta: A1 para A3 é metade cravada, então 1:100 vira 1:200 sem recalcular. Um passo só, de A1 para A2, é 71% e não fecha em número redondo nenhum.

3. Peso de correspondência: papel de 80 g/m² dá cinco gramas por página. Quatro páginas e um envelope ficam abaixo de vinte gramas, a faixa mais barata do correio.

Sobra um detalhe que reaparece toda vez que um arquivo atravessa a fronteira. A Carta é seis milímetros mais larga e dezoito milímetros mais curta que o A4, e é essa diferença que corta a última linha ou empurra a margem quando você imprime um PDF baixado de site americano.

"Que outro número torto que você usa sem pensar é, na verdade, a única resposta possível?"

Lembrado na Promoção

O Comentário de 20 Segundos que faz a chefia repetir o seu nome na reunião que decide salário.

Segundo o texto, quem publicou a norma DIN 476, em agosto de 1922, fixando a área do maior formato de papel em exatamente um metro quadrado?

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